Ασκήσεις8: Γραμμικές Απεικονίσεις και Πίνακες Βασικά σημεία Ορισμός πίνακα γραμμικής απεικόνισης, παραδείγματα Ανάκτηση γραμμικής απεικόνισης από πίνακά της Ιδιότητες (πίνακας που αντιστοιχεί στο άθροισμα, βαθμωτό γινόμενο, και σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων) Πίνακας αντίστροφης γραμμικής απεικόνισης Ισοδύναμοι χαρακτηρισμοί μέσω πινάκων πότε μια γραμμική απεικόνιση είναι ισομορφισμός Ορισμός ισοδύναμων πινάκων, πρώτες ιδιότητες Θεώρημα Έστω f : V W γραμμική απεικόνιση, ˆv και ŵ διατεταγμένες βάσεις των V και W αντίστοιχα, ( f : vˆ, wˆ ) και B Τότε οι, B είναι ισοδύναμοι αν και μόνο αν υπάρχουν διατεταγμένες βάσεις ˆv του V και ŵ του W με B ( f : vˆ, wˆ ) Πίνακας αλλαγής βάσης Θεώρημα (για γραμμικές απεικονίσεις) Έστω f : V W γραμμική απεικόνιση Τότε υπάρχουν διατεταγμένες βάσεις ˆv και ŵ I των V και W αντίστοιχα με ( : ˆ, ˆ) r 0 f v w, r d I f 0 0 I (για πίνακες) Κάθε μη μηδενικός πίνακας είναι ισοδύναμος με μοναδικό πίνακα της μορφής r 0 0 0 Τάξη πίνακα (, B έχουν την ίδια τάξη αν και μόνο αν είναι ισοδύναμοι, ανάστροφοι πίνακες έχουν την ίδια τάξη) Τάξη γινομένου πινάκων Θεώρημα 3 Το σύστημα X b, όπου, b, έχει λύση αν και μόνο αν rak( ) rak( b) Υπολογίστε τον πίνακα ( f : ˆ, ˆ v w ) της γραμμικής απεικόνισης f στις ακόλουθες περιπτώσεις 3 a f :, f ( x, y) ( x y, x y, x 3 y), vˆ eˆ ( e ˆ ˆ, e ), w e ( e, e, e 3) είναι οι συνήθεις διατεταγμένες βάσεις των, αντίστοιχα vˆ ( e ˆ ˆ, e ), w e 3 vˆ ((,),(, )), wˆ e ˆ 4 vˆ ((,),(, )), wˆ ((,0,0),(,,0),(,,)) f : [ x] [ x], f ( p( x)) p( x), και vˆ, w ˆ είναι οι συνήθεις διατεταγμένες βάσεις των Έστω b 3 [ x], [ x] αντίστοιχα 3 και διατεταγμένες βάσεις των 3 L L X X Δείξτε ότι ( L : E, E), όπου E, E είναι οι συνήθεις :, ( ), αντίστοιχα 3 Έστω f : η γραμμική απεικόνιση που έχει πίνακα τον ( f : eˆ, eˆ ), όπου ê η συνήθης 0 διατεταγμένη βάση του Για κάθε θετικό ακέραιο, υπολογίστε τo f ( x, y ), όπου x, y 4 Έστω vˆ ( v, v) διατεταγμένη βάση του και f : γραμμική απεικόνιση με ( f : vˆ, vˆ ) 0 Βρείτε τον πίνακα ( g : vˆ, v ˆ), όπου g f 8 f 5, και υπολογίστε τα g( v ), g( v ) συναρτήσει των v, v 5 Έστω vˆ ( v, v, v3) διατεταγμένη βάση διανυσματικού χώρου V Έστω f : V V η γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε f ( v ) v, f ( v ) v3, f ( v3) 0 Υπολογίστε τον πίνακα ( f : vˆ, v ˆ) για κάθε θετικό ακέραιο 6 Έστω a Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση f : [ x] [ x] που ορίζεται από 39
f () a x, f ( x) ax, f x x x a Βρείτε για ποια a η f είναι ισομορφισμός ( ) b Για τα a του προηγούμενου ερωτήματος, υπολογίστε τον πίνακα ( f : vˆ, vˆ ), όπου vˆ (, x, x ), και στη συνέχεια υπολογίστε το f ( cx c x c0 ), c c Έστω ότι a Βρείτε διατεταγμένες βάσεις uˆ, w ˆ του [ x] με ( f : uˆ, wˆ ) dag(,,0) 7 Δίνονται οι διατεταγμένες βάσεις f : [ x] [ x] που ορίζεται από xˆ (, x, x ) και uˆ (, x,( x ) ) του [ x] και η γραμμική απεικόνιση f () x, f ( x ) x, f (( x ) ) x x a Υπολογίστε του πίνακες ( ˆ ˆ :, ) [ x u x, ( f : uˆ, x ˆ), ( f : uˆ, u ˆ) και ( f : xˆ, x ˆ) ] b Υπολογίστε τις στήλες των συντεταγμένων [ f ( v )] x ˆ και [ f ( v )] u ˆ για κάθε v [ x] c Βρείτε μια βάση και τη διάσταση για καθένα από τους διανυσματικούς χώρους ker f και I f 8 Υπολογίστε το rak( ), όπου 3, a a 9 Υπολογίστε το rak( ), όπου ( a ), ( a ) j j j 0 Βρείτε το rak( B ) όπου αντιστρέψιμος με στήλες,, και οι στήλες του B είναι 0,,, 3 0 Έστω f : η γραμμική απεικόνιση που έχει πίνακα τον ως προς τις συνήθεις 3 4 0 3 3 διατεταγμένες βάσεις των, Δείξτε ότι δεν υπάρχουν διατεταγμένες βάσεις vˆ, w ˆ των, αντίστοιχα 0 τέτοιες ώστε ( f : v ˆ, w ˆ ) 3 6 0 a 3 Εξετάστε αν υπάρχουν a, b ώστε οι πίνακες, 3 b 4 6 3 Έστω f : μια μη μηδενική γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε f 0 0 a Δείξτε ότι υπάρχει διατεταγμένη βάση ˆv του τέτοια ώστε ( f : vˆ, vˆ ) 0 0 0 b Αληθεύει ότι υπάρχει διατεταγμένη βάση ˆv του τέτοια ώστε ( f : vˆ, vˆ ) ; 0 0 0 c Αληθεύει ότι υπάρχουν διατεταγμένες βάσεις vˆ, w ˆ του τέτοιες ώστε ( f : v ˆ, w ˆ) ; 0 0 3 0 4 Έστω f : η γραμμική απεικόνιση που έχει πίνακα τον ως προς τις συνήθεις 3 3 διατεταγμένες βάσεις των, Να βρεθεί ο πίνακας ( f : vˆ, w ˆ), όπου vˆ ((0,0,),(0,,0),(,0,0)), wˆ ((,),(, )) 5 Έστω Εξετάστε αν όλες οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες ανά δύο 3 να είναι ισοδύναμοι 40
a αντιστρέψιμος b rak( ) c Οι στήλες του είναι γραμμικά ανεξάρτητες d Οι γραμμές του είναι γραμμικά ανεξάρτητες e ισοδύναμος με I f γραμμοϊσοδύναμος με I g de 0 h To γραμμικό σύστημα X 0 έχει μοναδική λύση 6 Έστω αντισυμμετρικός Δείξτε ότι αν είναι περιττός, τότε rak( ) 7 Αν ο ικανοποιεί τη σχέση 0, δείξτε ότι rak( ) 8 Έστω V ένας -διανυσματικός χώρος και u,, u, v,, v V Δείξτε ότι d u v,, u v d u,, u d v,, v 9 Έστω, B a Δείξτε ότι rak( B) rak( ) rak( B) b Δείξτε ότι rak( ) rak( I ) 0 Έστω c Έστω ότι rak( ) rak( I ) Δείξτε ότι και rak( ) r Δείξτε τις εξής προτάσεις a Υπάρχουν,, r με r και rak( ),,, r b Αν υπάρχουν,, s με s και rak( s ),,, s, τότε s r Έστω Έστω B που προκύπτει από τον αν αλλάξουμε την τιμή ενός στοιχείου του Δείξτε ότι rak( ) rak( B) {,0,} Θεωρούμε τον πίνακα 34 3 5 3 I Βρείτε αντιστρέψιμους πίνακες P, Q με PQ r 0 για κάποιο 0 0 r l 3 Έστω και B Δείξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες l a Υπάρχει Y με Y B b rak( ) rak( B ) για κάθε, όπου B είναι η στήλη του B ( l ) c rak( ) rak( B), όπου ( B) έχει στήλες τις στήλες των και B 4 Δείξτε ότι υπάρχουν και B τέτοιοι ώστε B I αν και μόνο αν 5 Έστω Δείξτε τα εξής a Αν rak( ), τότε υπάρχει B με B I b Αν rak( ), τότε υπάρχει B με B I l 6 Έστω και B Δείξτε ότι υπάρχουν,, l C C με B C C και rak( C ),,, 7 Θα δούμε εδώ ένα άλλο χαρακτηρισμό του rak πίνακα Για έστω d( ) o μέγιστος ακέραιος έτσι ώστε υπάρχει υποπίνακας του με ορίζουσα διάφορη του μηδενός (Στην ακραία περίπτωση 0 δεχόμαστε ότι d( ) 0) Για παράδειγμα d( ), όπου 3, αφού κάθε υποπίνακας του έχει ορίζουσα 0 Δείξτε ότι rak( ) d( ) 4 6 4
8 Έστω και B adj( ) (ο προσαρτημένος πίνακας του ) Δείξτε τις ακόλουθες ιδιότητες a Αν rak( ), τότε rak( B) b Αν rak( ), τότε rak( B) c Αν rak( ), τότε rak( B) 0 9 Θα δούμε εδώ μια διαφορετική απόδειξη ότι rak( ) rak( ) όταν Μια παραλλαγή αυτής ισχύει και όταν Έστω Δείξτε τα εξής a Αν είναι τέτοιο ώστε 0, τότε 0 b ker L ker L c rak( ) rak( ) d rak( ) rak( ) l 30 Έστω και B Δείξτε τα εξής a d ker LB d ker L d ker LB b (Sylveser ) rak( ) rak( B) rak( B) 3 Έστω, B Δείξτε τα εξής a Αν B 0, τότε rak( ) rak( B) b Αν B B, τότε rak( B) rak( ) rak( B) rak( B) c rak( I ) rak( I ) rak( I ) 3 Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Δικαιολογείστε τις απαντήσεις με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα 33 a Κάθε αντιστρέψιμος είναι ισοδύναμος με τον I 3 44 b Αν, B είναι τέτοιοι ώστε B 0 και rak( ) 3, τότε rak( B) c Αν οι, B είναι ισοδύναμοι, τότε οι, B είναι ισοδύναμοι d Έστω Tο γραμμικό σύστημα X 0 έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν το γραμμικό σύστημα X 0 έχει μη μηδενική λύση Όχι ο Salloe, αλλά αυτός hp://www-hsorycss-adrewsacuk/bographes/sylveserhl 4
Υποδείξεις-Απαντήσεις Παρακάτω δίνονται συνήθως σύντομες υποδείξεις ή τελικές απαντήσεις σε υπολογιστικές ασκήσεις 3 3 a a a3 0 a4 5 3 3 3 5 5 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 3 Χρησιμοποιήστε ότι η στήλη ( B ) του γινομένου B είναι ίση με B Ειδικά για B I, E 3 Δείξτε με επαγωγή ότι κάθε θετικό ακέραιο Άρα έχουμε 0 0 f ( x, y) xf (,0) yf (0,) x(e 0 e ) y(e e ) ( x y, y), όπου στη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε τον ορισμό του πίνακα γραμμικής απεικόνισης 5 80 4 ( g : vˆ, vˆ ), g( v ) 5 v, g( v ) 80v 5 v 0 5 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 5 ( : ˆ, ˆ) ( : ˆ, ˆ f v v f v v) 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 3 0 0 0 6 a και b Η f είναι ισομορφισμός αν και μόνο αν ο πίνακας a 0 ( : ˆ, ˆ f v v) a 0 0 είναι αντιστρέψιμος, δηλαδή a Στην περίπτωση αυτή, a ( : ˆ, ˆ) ( : ˆ, ˆ f v v f v v) a a a 0 0 και επίσης f ( c x c x c 0) c x ( 0 ) ( 0 ) c a ac ac x a ac c c c Ακολουθώντας την απόδειξη του θεωρήματος (για γραμμικές απεικονίσεις) βρίσκουμε μια βάση του ker f, τη { x} και την επεκτείνουμε σε διατεταγμένη βάση του [ x], πχ τη ˆ v (, x, x) Από την απόδειξη ξέρουμε ότι τα στοιχεία f (), f ( x ) αποτελούν βάση της εικόνας I f Επεκτείνουμε τη βάση αυτή 43
σε διατεταγμένη βάση του [ x], πχ τη ˆ w ( x, x x,) Από την απόδειξη ξέρουμε ότι 0 0 ( : ˆ, ˆ f v w) 0 0 0 0 0 7 a Από τον ορισμό του πίνακα γραμμικής απεικόνισης προκύπτει άμεσα ότι 0 ( : ˆ, ˆ) 0 [ x u x ], ˆ ˆ ( f : u, x) 0 0 0 0 Χρησιμοποιώντας αλλαγή βάσης, έχουμε διαδοχικά ( f : uˆ, uˆ ) ( : xˆ, uˆ )( f : uˆ, xˆ ) ( : uˆ, xˆ ) ( f : uˆ, xˆ ) b Αν v ax bx c, τότε [ x] [ x] 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 ( f : xˆ, xˆ ) ( f : uˆ, xˆ )( : xˆ, uˆ ) [ x] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c a c [ f ( v)] ˆ ( : ˆ, ˆ x f x x)[ v] xˆ 0 0 b c 0 0 a a Αν v a( x ) b( x ) c, τότε 0 0 0 c 0 [ f ( v)] ˆ ( : ˆ, ˆ u f u u)[ v] uˆ b a b c 0 0 a a c Εδώ μπορούμε να εργαστούμε είτε απευθείας με τη γραμμική απεικόνιση (όπως είδαμε στην ενότητα 7) είτε με ένα πίνακά της Ας θεωρήσουμε τον πίνακα 0 0 0 ( f : uˆ, uˆ ) 0 0 Για την εικόνα I f : Είναι σαφές ότι μια βάση του χώρου των στηλών αποτελούν οι στήλες και 3 του ( f : uˆ, u ˆ) Άρα d I f και μία βάση είναι τα στοιχεία 0( x ) 0( x ),0( x ) ( x ) δηλαδή τα x, x x Για τoν πυρήνα ker f : Λύνοντας το ομογενές γραμμικό σύστημα που αντιστοιχεί στον πίνακα ( f : uˆ, u ˆ), βρίσκουμε τις λύσεις y Προσοχή, οι στήλες αυτές είναι οι στήλες συντεταγμένων των στοιχείων του 0 ker f ως προς τη διατεταγμένη βάση û Άρα ker f { y y( x ) y } { yx y } Επομένως d ker f και μια βάση είναι το σύνολο { x } 44
, a 3 8 Με συνήθεις γραμμοπράξεις βρίσκουμε 0 και επομένως rak( ) 0 0 a 3 3, a 3, ή 9 Αφαιρέστε την πρώτη γραμμή από κάθε άλλη γραμμή για να δείξτε ότι rak( ),, 0 rak( B ) rakb Μετασχηματίζοντας τους πίνακες σε κλιμακωτή μορφή, δείξτε ότι έχουν διαφορετικές τάξεις (ο πρώτος και ο δεύτερος ) Δεν υπάρχουν καθώς ο πρώτος πίνακας έχει τάξη για κάθε a, b, ενώ ο δεύτερος έχει τάξη 3 a Αφού η f είναι μη μηδενική, υπάρχει v με f ( v) 0 Δείξτε ότι τα v, f ( v ) είναι βάση του θεωρήστε τη διατεταγμένη βάση vˆ ( f ( v), v) b Δεν αληθεύει, γιατί σε διαφορετική περίπτωση θα είχαμε 0 0 0 0 0 ( f : vˆ, vˆ ) ( f : vˆ, vˆ ) ( f : vˆ, vˆ ) 0 0 0 0 0 0 0 0, πράγμα αδύνατο αφού f 0 c Αληθεύει Δείξτε ότι d I f και εφαρμόστε το Θέωρημα 4 Εφαρμόζoντας τη γνωστή θεμελιώδη σχέση παίρνουμε ( f : vˆ, wˆ ) ( : eˆ, wˆ )( f : eˆ, eˆ )( : vˆ, eˆ ) 3 ( : wˆ, eˆ ) ( f : eˆ, eˆ )( : vˆ, eˆ ) 3 και 0 0 0 0 0 3 0 0 3 5 5 Όλες οι προτάσεις είναι ισοδύναμες ανά δύο 6 Αν είναι περιττός, τότε de de de( ) ( ) de de de 0 rak 7 a και b Χρησιμοποιήστε τη γενική σχέση d ker L d I L και τη σχέση I L ker L που έπεται από 0 8 Έχουμε u v,, u v u,, u v,, v d u v,, u v d( u,, u v,, v ) d u,, u d v,, v 9 a Έπεται άμεσα από την προηγούμενη άσκηση b Eφαρμόστε το a για B I και παρατηρήστε ότι rak( B) rak( B) c Δείξτε ότι ker L ker L Στη συνέχεια παρατηρήστε ότι αν X ker L, Y ker L, τότε I ( )( X Y) ( I) X ( I) Y 0 0 0 Συνεπώς 0 I I 0 a Χρησιμοποιήστε το Θεώρημα (για πίνακες) και παραστήστε το r 0 ως κατάλληλο άθροισμα 0 0 b Χρησιμοποιήστε την άσκηση 5a Βλ Παράδειγμα 6 του βιβλίου 45
3 Χρησιμοποιήστε το Θεώρημα 3 και την παρατήρηση ότι Y B Y B για κάθε 4 Έστω ότι B I Τότε rak( I ) rak( B) {rak( ), rak( B)} {, } I Αντίστροφα, έστω Ορίζουμε ( I 0) και B Tότε B I 0 5 a ος τρόπος Χρησιμοποιούμε την ιδέα της προηγούμενης άσκησης Έχουμε Από το Θεώρημα I υπάρχουν αντιστρέψιμοι P, Q με P( I 0 ) Q Ορίζοντας B Q P, δείξτε ότι B I 0 ος τρόπος Χρησιμοποιούμε γραμμικές απεικονίσεις και βάσεις Επειδή rak( ), η γραμμική απεικόνιση L : υπάρχει είναι επί Έστω X j με L( X j ) E j { E,, E } (οποιαδήποτε) βάση του Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση Για κάθε f : E j, j,,, που ορίζεται από f ( E ) X, j,, Δείξτε ότι L f Τώρα αν E ˆ, E ˆ είναι οι συνήθεις διατεταγμένες βάσεις των j j, αντίστοιχα, έχουμε ( L f : Eˆ, Eˆ ) ( : Eˆ, Eˆ ), οπότε ( L : E ˆ, E ˆ )( f : E ˆ, E ˆ ) ( ˆ ˆ : E, E), δηλαδή ( f : Eˆ, Eˆ ) I 6 Αν ( a j ) και B ( b s ), τότε από τον ορισμό του γινομένου πινάκων έπεται ότι a rbr a rbr a rbrl arbr arbr arbrl B r arb arbr arbrl Κάθε πίνακας στο δεξί μέλος έχει τάξη το πολύ καθώς κάθε γραμμή του είναι πολλαπλάσιο της γραμμής b b b r r rl 7 Έστω rak( ) s 0 και d( ) 0 Από τον ορισμό του, υπάρχει υποπίνακας B του με μη μηδενική ορίζουσα Άρα οι γραμμές του B είναι γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία του Από αυτό και τον ορισμό της γραμμικής ανεξαρτησίας, έπεται ότι οι αντίστοιχες γραμμές του είναι γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία του (πώς;) Άρα s s Από τον ορισμό του s, υπάρχουν s γραμμικά ανεξάρτητες γραμμές του Έστω C o πίνακας των ss γραμμών αυτών Συνεπώς υπάρχουν στο C s γραμμικά ανεξάρτητες στήλες Έστω D o πίνακας των στηλών αυτών Έχουμε de D 0 Άρα s Άρα s 8 Έχουμε τη σχέση adj( ) adj( ) de( ) I (+) a rak( ) αντιστρέψιμος de 0 Από τη σχέση (+) έπεται ότι adj( ) αντιστρέψιμος (πώς;) και άρα rak( adj( )) b rak( ) d ker L ( ) Επίσης, rak( ) de( ) 0 Η σχέση (+) δίνει adj( ) 0, οπότε κάθε στήλη του adj( ) ανήκει στο d ker L, δηλαδή είναι πολλαπλάσιο συγκεκριμένης στήλης Άρα rak( adj( )) Ισχύει rak( adj( )), γιατί αν rak( adj( )) 0, τότε adj( ) 0 που σημαίνει από τον ορισμό του adj( ) ότι κάθε ( ) ( ) υποπίνακας του έχει μηδενική ορίζουσα Από την άσκηση 7 έπεται τότε ότι rak( ), άτοπο c Έπεται άμεσα από την άσκηση 7 9 b X ker L X 0 X X 0 X 0 X ker L ker L ker L Η άλλη σχέση είναι σαφής και άρα ker L ker L d Από το c έπεται ότι για κάθε πίνακα, a 46
rak( ) rak( ) { rak( ), rak( )} Θεωρώντας στην τελευταία ανισότητα rak( ) rak( ) στη θέση του, παίρνουμε ισότητα L 30 a Θεωρείστε το περιορισμό της απεικόνισης L B στον υπόχωρο ker L B, ker L B B ker L, και εφαρμόστε τη θεμελιώδη σχέση ker και rak s b Προκύπτει από το a εφαρμόζοντας τρεις φορές τη θεμελιώδη σχέση d ker LC rak( C), C 3 a Έπεται άμεσα από την άσκηση 30b Μπορεί να αποδειχθεί και απευθείας: B 0 0 LB L LB ILB ker L rak( B) rak(ker L) rak( ) b Παρατηρήστε ότι I L I L I L B B d I L d(i L I L ) d I L d I L d I L I L B B B B rak( B) rak( ) rak( B) d IL I L Επίσης, είναι άμεσο ότι I L I L Επειδή έχουμε B B, παίρνουμε I L I L I L Άρα B B B B B I LB I L I LB oπότε rak( B) d I L I LB και το ζητούμενο έπεται c Έπεται άμεσα από το b για I και I στη θέση των και B αντίστοιχα 3 a Σ Έπεται άμεσα από τον ορισμό της ισοδυναμίας b Σ Από B 0, έπεται ότι κάθε στήλη του B ανήκει στο ker L που έχει διάσταση d ker L 4 rak( ) 4 3 Άρα κάθε δύο στήλες του B είναι γραμμικά εξαρτημένες Συνεπώς rak( B) 0 c Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι, B 0 0 0 0 d Σ Η διάσταση του χώρου λύσεων του πρώτου συστήματος είναι rak( ) και του δεύτερου rak( ) Καθώς rak( ) rak( ), οι δύο διαστάσεις είναι ίσες 47